حاصل عبارت‌های زیر را به صورت توان‌دار بنویسید.
الف) $ \frac{۷^۳}{۷^۵}= $
ب) $ ۲^{-۲} \times ۵^{-۲}= $
ج) $ (-\frac{۲}{۳})^{-۳} \times ۱۲^{-۳}= $
د) $ [(-\frac{۲}{۵})^{-۲}]^{-۱}= $
ه) $ \frac{۲۱^۸ \times ۵۱۰^۰}{۲۴^۴ \times ۵^۶}= $
و) $ \frac{x^۵ y^۲ z}{x^{-۲} y^۷ z^۳}= $
($x,y,z \neq ۰$)
پاسخ تشریحی:
برای ساده‌سازی این عبارات، از قوانین توان‌ها استفاده می‌کنیم.
**الف) $ \frac{۷^۳}{۷^۵} $**
* **قانون تقسیم:** در تقسیم اعداد توان‌دار با پایه‌ی یکسان، توان‌ها را از هم کم می‌کنیم ($ \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} $).
* **حل:** $ \frac{۷^۳}{۷^۵} = ۷^{۳-۵} = ۷^{-۲} $
**ب) $ ۲^{-۲} \times ۵^{-۲} $**
* **قانون ضرب با توان یکسان:** در ضرب اعداد توان‌دار با توان یکسان، پایه‌ها را در هم ضرب کرده و یکی از توان‌ها را می‌نویسیم ($ a^n \times b^n = (ab)^n $).
* **حل:** $ ۲^{-۲} \times ۵^{-۲} = (۲ \times ۵)^{-۲} = ۱۰^{-۲} $
**ج) $ (-\frac{۲}{۳})^{-۳} \times ۱۲^{-۳} $**
* **قانون ضرب با توان یکسان:**
* **حل:** $ (-\frac{۲}{۳} \times ۱۲)^{-۳} = (-\frac{۲۴}{۳})^{-۳} = (-۸)^{-۳} $
**د) $ [(-\frac{۲}{۵})^{-۲}]^{-۱} $**
* **قانون توان در توان:** در این حالت، توان‌ها را در هم ضرب می‌کنیم ($ (a^m)^n = a^{mn} $).
* **حل:** $ [(-\frac{۲}{۵})^{-۲}]^{-۱} = (-\frac{۲}{۵})^{(-۲) \times (-۱)} = (-\frac{۲}{۵})^۲ $
**ه) $ \frac{۲۱^۸ \times ۵۱۰^۰}{۲۴^۴ \times ۵^۶} $**
* **مراحل حل:** ابتدا پایه‌ها را به عوامل اول تجزیه کرده و از قوانین توان استفاده می‌کنیم. (توجه: $۵۱۰^۰ = ۱$)
$ \frac{۲۱^۸ \times ۱}{۲۴^۴ \times ۵^۶} = \frac{(۳ \times ۷)^۸}{(۲^۳ \times ۳)^۴ \times ۵^۶} = \frac{۳^۸ \times ۷^۸}{ (۲^۳)^۴ \times ۳^۴ \times ۵^۶ } = \frac{۳^۸ \times ۷^۸}{۲^{۱۲} \times ۳^۴ \times ۵^۶} $
حالا توان‌های با پایه‌ی ۳ را ساده می‌کنیم:
$ ۳^{۸-۴} \times \frac{۷^۸}{۲^{۱۲} \times ۵^۶} = \frac{۳^۴ \times ۷^۸}{۲^{۱۲} \times ۵^۶} $
(این عبارت ساده‌ترین شکل توان‌دار آن است)
**و) $ \frac{x^۵ y^۲ z}{x^{-۲} y^۷ z^۳} $**
* **قانون تقسیم:** برای هر متغیر، توان مخرج را از توان صورت کم می‌کنیم.
* **حل:**
$ x^{۵ - (-۲)} \cdot y^{۲-۷} \cdot z^{۱-۳} = x^{۵+۲} \cdot y^{-۵} \cdot z^{-۲} = x^۷ y^{-۵} z^{-۲} $
